Problem 1: Closed Economy Model 완벽 분석

기초
Problem 1
Consider the closed economy model we saw in class. The labor income is 70, taxes are 30, consumption is given by C = 0.5·(Y−T) and investment is 40. Finally, the production function is given by Y = K^0.3·L^0.7. Assume the price of output P is equal to 1.
1 Cobb-Douglas Production Function의 핵심 개념

Cobb-Douglas 생산함수 $Y = K^{\alpha}L^{1-\alpha}$에서 가장 중요한 성질은 요소소득 분배입니다.

  • Labor share (노동소득 비중): $(1-\alpha) = 0.7$ (70%)
  • Capital share (자본소득 비중): $\alpha = 0.3$ (30%)
  • 이는 마치 케이크를 나누는 것과 같습니다. 전체 생산(케이크)의 70%는 노동자에게, 30%는 자본가에게 돌아갑니다.

(a) How much is output Y?

Solution

핵심 공식: Labor Income = $(1-\alpha) \cdot P \cdot Y$

$$70 = (1-0.3) \cdot 1 \cdot Y = 0.7 \cdot Y$$ $$Y = \frac{70}{0.7} = 100$$

설명: 노동소득이 70이고 노동소득 비중이 0.7이므로, 전체 생산은 100입니다. 이는 마치 "전체의 70%가 70이면, 전체는 얼마일까?"를 푸는 것과 같습니다.

주의사항: 문제에서 P=1이라고 명시했지만, 만약 P≠1이라면 반드시 P를 곱해줘야 합니다!
예: P=2라면, Labor Income = $(1-\alpha) \cdot P \cdot Y = 0.7 \cdot 2 \cdot Y$

(b) How much is capital income?

Solution
$$\text{Capital Income} = \alpha \cdot P \cdot Y = 0.3 \cdot 1 \cdot 100 = 30$$

설명: 자본소득은 전체 생산의 30%입니다. Labor income + Capital income = Total income (70 + 30 = 100)이 성립함을 확인할 수 있습니다.

(c) How much is consumption?

Solution
$$C = 0.5 \cdot (Y - T) = 0.5 \cdot (100 - 30) = 0.5 \cdot 70 = 35$$

설명: 가처분소득(Disposable Income) = Y - T = 100 - 30 = 70입니다. 소비함수에서 0.5는 MPC(한계소비성향)로, 가처분소득의 50%를 소비한다는 의미입니다.

(d) How much are public saving and private saving? Is the government running a surplus, a deficit, or neither?

Solution

Step 1: G(정부지출) 구하기

균형조건 $Y = C + I + G$에서:

$$100 = 35 + 40 + G$$ $$G = 25$$

Step 2: 저축 계산하기

$$\text{Private Savings} = Y - C - T = 100 - 35 - 30 = 35$$ $$\text{Public Savings} = T - G = 30 - 25 = 5$$

판단: Public Savings > 0이므로 정부는 흑자(surplus)를 기록하고 있습니다.

Q: 왜 Private Savings를 Y - C - T로 계산할까요?
A: 이는 가계의 예산 제약을 생각하면 쉽습니다. 가계가 벌어들인 총소득(Y)에서 소비(C)와 세금(T)을 빼고 남은 것이 저축입니다.

월급이 100만원(Y)인데, 35만원 소비하고(C), 30만원 세금 내면(T), 35만원이 저축으로 남는 것과 같은 이치입니다.

(e) Is total saving equal to investment?

Solution
$$\text{Total Savings} = \text{Private Savings} + \text{Public Savings} = 35 + 5 = 40$$ $$\text{Investment} = 40$$

Yes! 폐쇄경제에서는 항상 S = I가 성립합니다. 이는 경제 전체의 항등식으로, 저축된 모든 자금이 투자로 사용됨을 의미합니다.

시험 변형 문제

만약 문제가 이렇게 바뀐다면?

  • α = 0.4로 변경: Labor share = 0.6, Capital share = 0.4로 재계산
  • C = 100 + 0.8(Y-T): 자율소비(autonomous consumption) 100이 추가된 경우
  • Open economy: NX(순수출)가 추가되면 Y = C + I + G + NX

Problem 2: MPC와 저축 변화 심화 분석

중급
Problem 2
Consider the closed economy model we saw in class and assume consumption is a linear function of disposable income and the marginal propensity to consume is 0.7.
2 MPC (Marginal Propensity to Consume)의 이해

MPC = 0.7의 의미: 추가 소득 1원당 0.7원을 소비하고 0.3원을 저축합니다.

예시: 보너스 100만원을 받으면 → 70만원 소비, 30만원 저축

$$C = a + MPC \cdot (Y-T)$$

여기서 a는 자율소비(기본 생활비)

(a) Interpret the MPC in this case

Solution

가처분소득이 1달러 증가할 때마다:

  • 소비 증가: 70 cents (70%)
  • 저축 증가: 30 cents (30%)

이는 MPS(한계저축성향) = 1 - MPC = 0.3임을 의미합니다.

(b) Calculate the change in savings in each scenario

저축 변화 공식 유도

$$S = Y - C - G = Y - [a + MPC(Y-T)] - G$$ $$\Delta S = (1-MPC)\cdot\Delta Y + MPC\cdot\Delta T - \Delta G$$

핵심: 이 공식만 기억하면 모든 저축 변화 문제를 풀 수 있습니다!

i. Government expenditures increase by 40

Solution

주어진 조건: $\Delta G = 40$, $\Delta T = 0$, $\Delta Y = 0$ (문제에서 Y가 변한다고 하지 않았음)

$$\Delta S = (1-MPC)\cdot 0 + MPC\cdot 0 - 40 = -40$$

해석: 정부지출이 40 증가하면 국민저축이 40 감소합니다. 이는 정부가 더 많이 쓰면서 정부저축이 감소하기 때문입니다.

ii. Taxes increase by 20

Solution

주어진 조건: $\Delta T = 20$, $\Delta G = 0$, $\Delta Y = 0$

$$\Delta S = 0 + 0.7 \times 20 - 0 = 14$$

해석: 세금이 20 증가하면:

  • 가처분소득 20 감소 → 소비 14 감소 (20 × 0.7)
  • 민간저축 6 감소 (20 × 0.3)
  • 정부저축 20 증가
  • 순효과: 국민저축 14 증가 (20 - 6 = 14)

iii. Total income Y increases by 100

Solution

주어진 조건: $\Delta Y = 100$, $\Delta T = 0$, $\Delta G = 0$

$$\Delta S = (1-0.7) \times 100 + 0 - 0 = 30$$

해석: 소득이 100 증가하면 그 중 70은 소비되고 30은 저축됩니다.

시험 실수 주의!
• 문제에서 명시하지 않은 변수는 변하지 않는다고 가정
• ΔS 공식에서 부호 주의: -ΔG (마이너스!)
• MPC가 아닌 (1-MPC)가 ΔY에 곱해짐

Problem 3: Balanced Budget 재정정책 분석

중급
Problem 3
Consider the closed economy model and assume consumption is a linear function of disposable income and the MPC is MPC. Assume now that the government increases its expenditures and finances them with an equal increase in taxes, that is: ΔG = ΔT.
3 균형재정 승수 (Balanced Budget Multiplier)

정부가 지출을 늘리면서 동시에 같은 금액만큼 세금을 올리는 경우입니다. 예를 들어:

  • 도로 건설에 100억 지출 증가
  • 세금도 100억 증가시켜 재원 마련
  • 정부 적자는 변하지 않음 (ΔG = ΔT)

(a) Find an expression for the change in national savings

Solution

조건: $\Delta G = \Delta T$, $\Delta Y = 0$ (output은 단기에 고정)

$$\Delta S = (1-MPC)\cdot 0 + MPC\cdot\Delta T - \Delta G$$ $$= MPC\cdot\Delta T - \Delta T = -(1-MPC)\cdot\Delta G$$

결과: $\Delta G > 0$이고 $MPC < 1$이므로, $\Delta S < 0$

균형재정 정책도 국민저축을 감소시킵니다!

Q: 정부가 적자를 늘리지 않았는데도 왜 국민저축이 감소할까요?
A: 이는 세금의 "소비 감소 효과" 때문입니다.

예를 들어, 정부가 100 더 쓰고 세금을 100 더 걷으면:
• 정부저축 변화 = 0 (100 - 100 = 0)
• 민간은 세금 100 중 70만 소비를 줄이고 30은 저축을 줄임 (MPC = 0.7 가정)
• 민간저축 변화 = -30
• 국민저축 변화 = 0 + (-30) = -30

즉, 민간이 저축을 줄이는 부분만큼 국민저축이 감소합니다.

(b) Illustrate your answer with a plot

Crowding Out of Private Investment
그래프 해석

위 그래프는 대부자금 시장(Loanable Funds Market)을 보여줍니다:

  • 파란선: 투자곡선 (우하향 - 이자율이 낮을수록 투자 증가)
  • 빨간 실선: 초기 저축곡선 (수직선 - 이자율과 무관)
  • 빨간 점선: 정책 후 저축곡선 (왼쪽으로 이동)
  • 결과: 균형 이자율 상승, 투자 감소

(c) Do we have crowding out of private investment?

Solution

Yes, crowding out이 발생합니다!

메커니즘:

  1. 국민저축 감소 → 대부자금 공급 감소
  2. 이자율 상승
  3. 민간투자 감소 (높은 이자율로 인해)

이를 "crowding out"이라고 부르는 이유는 정부 활동이 민간 투자를 "밀어낸다(crowd out)"는 의미입니다.

Problem 4: 기술진보와 이자율 변화

고급
Problem 4
Consider the closed economy model. Consumption is given by C = 0.5(Y − T). The investment function is: I = 100 − 50r. Due to technological progress, output increases by 2, ΔY = 2. What is the impact on the interest rate Δr?
4 투자함수와 이자율의 관계

투자함수 $I = 100 - 50r$의 의미:

  • 이자율이 0%일 때 투자는 100
  • 이자율이 1%p 상승할 때마다 투자는 50 감소
  • 기울기 -50은 투자의 이자율 민감도를 나타냄
Solution

Step 1: 저축 변화 계산

기술진보로 Y가 2 증가, G와 T는 불변:

$$\Delta S = (1-MPC)\cdot\Delta Y = (1-0.5)\times 2 = 1$$

Step 2: 균형조건 활용

폐쇄경제에서 $S = I$이므로 $\Delta S = \Delta I = 1$

Step 3: 이자율 변화 계산

$$I = 100 - 50r$$ $$\Delta I = -50\cdot\Delta r$$ $$1 = -50\cdot\Delta r$$ $$\Delta r = -\frac{1}{50} = -0.02 = -2\%$$

결론: 이자율이 2%p 하락합니다.

Q: 왜 기술진보가 이자율을 낮출까요?
A: 이는 저축-투자 균형의 관점에서 이해할 수 있습니다:

1. 기술진보 → 생산성 향상 → 소득 증가
2. 소득 증가 → 저축 증가 (일부는 소비, 일부는 저축)
3. 저축 공급 증가 → 대부자금 시장에서 공급 증가
4. 공급 증가 → 균형 이자율 하락

마치 사과가 풍년이면 사과 가격이 떨어지듯, 저축(대부자금)이 많아지면 그 가격(이자율)이 떨어집니다.
시험 변형 팁

다른 형태의 투자함수가 주어진다면:

  • $I = 200 - 100r$: 기울기가 -100이므로 이자율 민감도 2배
  • $I = 100 - 50r + 0.1Y$: 소득도 투자에 영향 (가속도 원리)
  • 비선형 투자함수: 미분을 이용해 $\frac{dI}{dr}$ 계산

Problem 5 & 6: 화폐의 기능과 은행 시스템

기초
Problem 5
We saw that money is the stock of assets that can be readily used to make transactions. It has to satisfy three purposes. Describe each of them briefly.

화폐의 세 가지 기능

1

Store of Value (가치 저장 수단)

현재의 구매력을 미래로 이전하는 방법입니다.

예시: 오늘 번 돈을 내년에 쓰기 위해 보관. 단, 인플레이션이 있으면 가치가 감소할 수 있습니다.

2

Unit of Account (회계 단위)

모든 상품과 서비스의 가격을 표시하는 공통 척도입니다.

예시: 커피 5,000원, 노트북 100만원처럼 원화로 가격 표시. 물물교환이라면 "커피 1잔 = 빵 2개"처럼 복잡해집니다.

3

Medium of Exchange (교환 매개)

재화와 서비스를 구매할 때 널리 받아들여지는 자산입니다.

예시: 빵을 사려면 돈을 주면 되지, 내가 만든 신발을 들고 가서 교환할 필요가 없습니다.

Problem 6
Consider an investment bank called RF. It has reserves = 600, loans = 700, and bonds = 300. It has short-run debt = 500, long-run debt = 700, and deposits = 200.

(a) Calculate the equity/capital of RF

Solution

자산(Assets):

  • Reserves: 600
  • Loans: 700
  • Bonds: 300
  • 총 자산 = 1,600

부채(Liabilities):

  • Short-run debt: 500
  • Long-run debt: 700
  • Deposits: 200
  • 총 부채 = 1,400
$$\text{Equity} = \text{Assets} - \text{Liabilities} = 1,600 - 1,400 = 200$$

(b) Draw its balance sheet

Assets (자산)
Reserves (준비금) 600
Loans (대출) 700
Bonds (채권) 300
Total Assets 1,600
Liabilities & Equity (부채 및 자본)
Short-run debt 500
Long-run debt 700
Deposits (예금) 200
Equity (자기자본) 200
Total L&E 1,600

(c) Calculate their leverage ratio

Solution
$$\text{Leverage Ratio} = \frac{\text{Assets}}{\text{Equity}} = \frac{1,600}{200} = 8$$

의미: 자기자본 1원당 8원의 자산을 운용하고 있습니다. 높은 레버리지는 수익을 증폭시키지만 위험도 증폭시킵니다.

(d) By how much must the value of their investments fall for RF to become bankrupt?

Solution

은행이 파산하려면 Equity = 0이 되어야 합니다.

현재 Equity = 200이므로, 자산가치가 200 하락하면 파산합니다.

Bonds 기준 하락률:

$$\text{하락률} = \frac{200}{300} = 66.67\%$$

해석: 채권 가치가 66.67% 하락하면 은행은 파산합니다. 이는 레버리지가 높을수록 작은 손실에도 파산 위험이 크다는 것을 보여줍니다.

2008년 금융위기의 교훈:
• 많은 투자은행들이 레버리지 비율 30~40배 운영
• 자산가치 3% 하락만으로도 파산 위기
• 이후 규제 강화로 레버리지 제한

Problem 7 & 8: 통화승수와 통화정책

고급
Problem 7
Assume an economy's monetary base is $2000, the currency-deposit ratio is 0.6, the reserve-deposit ratio is 0.4, and banks do not hold excess reserves.
M 통화승수 모델의 핵심 개념

주요 변수들:

  • B (Monetary Base): 중앙은행이 발행한 화폐 = C + R
  • M (Money Supply): 경제 내 총 통화량 = C + D
  • cr (Currency-Deposit Ratio): 사람들이 예금 대비 현금을 보유하는 비율
  • rr (Reserve-Deposit Ratio): 은행이 예금 대비 준비금을 보유하는 비율

(a) Find the money multiplier and the money supply

Solution

통화승수 공식:

$$m = \frac{cr + 1}{cr + rr} = \frac{0.6 + 1}{0.6 + 0.4} = \frac{1.6}{1.0} = 1.6$$

통화공급량:

$$M = m \times B = 1.6 \times 2000 = 3200$$

해석: 중앙은행이 발행한 2000의 본원통화가 은행 시스템을 통해 3200의 통화로 확대됩니다.

Q: 왜 통화승수가 1보다 클까요?
A: 이는 "부분준비제도(Fractional Reserve Banking)" 때문입니다:

1. A가 은행에 100만원 예금
2. 은행은 40만원만 준비금으로 보유 (rr=0.4)
3. 나머지 60만원을 B에게 대출
4. B가 이 돈을 사용하면 다시 누군가의 예금이 됨
5. 이 과정이 반복되어 통화가 "창조"됨

단, cr > 0이므로 일부는 현금으로 빠져나가 승수효과가 제한됩니다.

(b) How much is C, D and R?

Solution

핵심 관계식:

$$B = C + R = cr \cdot D + rr \cdot D = (cr + rr) \cdot D$$

계산:

$$D = \frac{B}{cr + rr} = \frac{2000}{0.6 + 0.4} = 2000$$ $$C = cr \times D = 0.6 \times 2000 = 1200$$ $$R = rr \times D = 0.4 \times 2000 = 800$$

검증:

  • B = C + R = 1200 + 800 = 2000 ✓
  • M = C + D = 1200 + 2000 = 3200 ✓

(c) Now suppose the Fed buys $2000 worth of bonds through open market operations

i. Find the new monetary base

Solution

Fed가 채권을 매입하면 그 대금으로 새로운 화폐가 공급됩니다:

$$B^{new} = B^{old} + 2000 = 2000 + 2000 = 4000$$

메커니즘: Fed → 채권 매입 → 판매자에게 2000 지급 → 본원통화 증가

ii. Find the new money supply

Solution

통화승수는 변하지 않으므로:

$$M = m \times B = 1.6 \times 4000 = 6400$$

주목: 본원통화 2000 증가 → 통화공급량 3200 증가 (1.6배)

iii. How much is C, D and R?

Solution
$$D = \frac{B}{cr + rr} = \frac{4000}{1.0} = 4000$$ $$C = cr \times D = 0.6 \times 4000 = 2400$$ $$R = rr \times D = 0.4 \times 4000 = 1600$$
Problem 8
The Fed controls the money supply indirectly through various instruments that can be classified into two groups: instruments that affect the monetary base and instruments that affect the reserve-deposit ratio.

Fed의 통화정책 도구

B

본원통화(B)에 영향을 주는 도구

1. Open Market Operations (공개시장조작):

  • 채권 매입 → B 증가 → M 증가
  • 채권 매도 → B 감소 → M 감소

2. Lending to Banks (은행 대출):

  • Discount window를 통한 대출
  • 긴급 유동성 공급
rr

준비율(rr)에 영향을 주는 도구

1. Reserve Requirements (지급준비율 규제):

  • 최소 준비율 상향 → rr 증가 → m 감소
  • 최소 준비율 하향 → rr 감소 → m 증가

2. Interest on Reserves (준비금 이자):

  • 준비금 이자율 상승 → 초과준비금 증가 → rr 증가
  • 2008년 이후 중요한 정책도구로 부상
Problem 9
What is the federal funds rate, and how is it related to the open market operations?
Solution

Federal Funds Rate (연방기금금리):

상업은행들이 하룻밤 동안 초과준비금을 서로 빌려주고 빌릴 때의 이자율입니다.

OMO와의 관계:

  1. Fed가 채권 매입 (확장적 정책):
    • 준비금 공급 증가
    • Fed funds rate 하락
    • 경기 부양 효과
  2. Fed가 채권 매도 (긴축적 정책):
    • 준비금 공급 감소
    • Fed funds rate 상승
    • 인플레이션 억제 효과
현실의 통화정책:
• Fed는 목표 Fed funds rate를 발표
• OMO를 통해 실제 금리를 목표에 맞춤
• 2008년 이후 양적완화(QE) 같은 비전통적 정책도 사용

PSET2 핵심 요약 및 시험 대비

시험에 꼭 나오는 핵심 공식

1

Cobb-Douglas 생산함수

• Labor Income = $(1-\alpha) \cdot P \cdot Y$

• Capital Income = $\alpha \cdot P \cdot Y$

2

저축 변화 공식

$\Delta S = (1-MPC) \cdot \Delta Y + MPC \cdot \Delta T - \Delta G$

3

통화승수

$m = \frac{cr + 1}{cr + rr}$

$M = m \times B$

4

균형 조건

• 상품시장: $Y = C + I + G$

• 금융시장: $S = I$

• 통화시장: $B = C + R$, $M = C + D$

시험 전 마지막 체크리스트:
✓ 폐쇄경제에서 S = I 항상 성립
✓ 균형재정(ΔG = ΔT)도 crowding out 발생
✓ 통화승수는 cr과 rr이 클수록 작아짐
✓ Fed의 채권 매입 = 확장적 정책
✓ Leverage ratio = Assets/Equity