Problem 1: Education Level and Income - Causality Analysis
기초기존: GDP/capita와 life satisfaction의 관계
변형: Education level과 income의 관계로 변경
이렇게 변형함으로써 더 직관적이고 학생들이 실제로 경험하는 문제로 접근할 수 있습니다.
Studies show a strong positive correlation between education level (years of schooling) and annual income. This correlation, like all correlations, is not direct evidence of causality (though many policymakers would interpret it this way). Present two logical arguments why this correlation does NOT lead us to conclude that higher education causes higher income. One of the arguments should be based on reverse causality and the other on the presence of an omitted variable.
Argument based on reverse causality: Wealthy families can afford to send their children to school for more years, so higher income leads to more education rather than the other way around.
Argument based on omitted variable: Intelligence (or ability) affects both education level and income. More intelligent people tend to stay in school longer AND earn higher incomes, regardless of their education.
경제학에서 데이터를 해석할 때 주의해야 할 세 가지 주요 함정이 있습니다:
- 역인과관계 (Reverse Causality): A→B가 아니라 B→A일 가능성
- 생략된 변수 (Omitted Variable Bias): C가 A와 B 모두에 영향을 미치는 경우
- 선택 편향 (Selection Bias): 관찰되는 표본이 대표성이 없는 경우
실제로 경제학자들은 이 문제를 해결하기 위해 "자연실험(natural experiment)"을 찾습니다. 예를 들어:
• 의무교육 연한 변경: 법적으로 학교를 다녀야 하는 연령이 바뀐 경우
• 생일 효과: 같은 학년이지만 생일이 달라 교육 연수가 다른 경우
• 대학 입학 추첨: 무작위로 입학이 결정되는 경우
• Reverse causality는 화살표 방향이 반대인 경우입니다
• Omitted variable은 제3의 변수가 두 변수 모두에 영향을 미치는 경우입니다
• 답안 작성 시 구체적인 메커니즘을 명확히 설명해야 합니다
• "correlation does not imply causation"은 경제학의 황금률입니다
문제: If we observe that countries with more ice cream sales have higher crime rates, provide two non-causal explanations.
힌트:
- Reverse causality는 이 경우 논리적이지 않으므로 다른 설명을 찾아보세요
- 계절이나 날씨 같은 제3의 요인을 생각해보세요
Problem 2: Growth Rates - US vs China (Modified)
중급기존: US 3%, China 5%, China GDP는 US의 28.1%
변형: US 2.5%, China 6%, China GDP는 US의 35%
성장률과 초기 비율을 변경하여 계산 과정을 다시 연습할 수 있도록 했습니다.
Growth Rates:
(a) Suppose that the U.S. growth rate of real GDP/capita is 2.5% per year. How long will it take U.S. GDP/capita to quadruple (become 4 times larger)?
(b) Suppose that the China growth rate of real GDP/capita is 6% per year. How long will it take China GDP/capita to increase by a factor of 5?
(c) Given the growth-rate projections above and that China's GDP today is 35% of US GDP, how long will it take China to have twice the GDP of the US?
We want to find t such that $Y_t = 4Y_0$. 여기서 주의: 기존 문제는 double(2배)이었지만 이번엔 quadruple(4배)입니다!
검증: Rule of 70을 사용하면, 2배가 되는 시간은 70/2.5 = 28년. 4배는 2배의 2배이므로 약 56년이 걸립니다. 우리 답과 일치합니다!
We want to find t such that $Y_t = 5Y_0$. 기존 문제는 3배였지만 이번엔 5배입니다.
We want to find t such that $Y_t^C = 2Y_t^U$ (중국이 미국의 2배가 되는 시점)
암기해야 할 핵심 공식들:
1. 복리 성장: $Y_t = Y_0(1+g)^t$
2. 배수 계산: $t = \frac{\ln(배수)}{\ln(1+g)} \approx \frac{\ln(배수)}{g}$
3. Rule of 70: 2배가 되는 시간 ≈ 70/성장률(%)
4. 연속 복리: $Y_t = Y_0e^{gt}$
예를 들어, $2 \times 2 \times 2 = 8$이라는 곱셈을 생각해보세요. 로그를 취하면: $\ln(8) = \ln(2) + \ln(2) + \ln(2) = 3\ln(2)$
성장률 문제에서도 마찬가지입니다:
$(1+g)^t = k$라는 지수 방정식이
$t \cdot \ln(1+g) = \ln(k)$라는 단순한 곱셈으로 바뀝니다!
더 나아가, g가 작을 때 $\ln(1+g) \approx g$이므로 계산이 더욱 간단해집니다.
• 퍼센트를 소수로 변환 안 함: 2.5% → 0.025
• ln과 log₁₀을 혼동: 경제학에서는 항상 자연로그 ln 사용
• 배수 계산 실수: "2배가 되는 시간"과 "2배 큰" 것의 차이
• 초기값 비율 거꾸로: 문제에서 "A는 B의 35%"면 A/B = 0.35
만약 문제가 이렇게 바뀐다면?
"India's GDP is 45% of Japan's GDP. India grows at 7%, Japan at 1.5%. When will India's GDP equal Japan's?"
접근법: 같은 공식을 사용하되, "equal"은 비율이 1이 되는 것임을 주의하세요.
Problem 3 & 4: GDP Scale and Growth Rate Analysis
중급Problem 3 기존: t=0에서 100, t=60에서 300, t=120에서 900
Problem 3 변형: t=0에서 150, t=50에서 300, t=100에서 600
Problem 4 변형: 다른 GDP 값들과 시점 사용
As represented by the figure below, GDP in country Y grows at a constant rate. Calculate the constant rate of growth of GDP for country Y. What scale is being used in the vertical axis?
[그래프: t=0에서 GDP=150, t=50에서 GDP=300, t=100에서 GDP=600으로 증가하는 직선]
주목할 점: GDP가 매 50년마다 정확히 2배씩 증가합니다! (150→300→600)
검증: Rule of 70으로 확인하면, 70/g ≈ 70/1.4 = 50년. 정확히 맞습니다!
The scale used in the vertical axis is ln(GDP). 일정한 성장률이 직선으로 나타나는 것이 그 증거입니다.
The figure below graphs ln(GDP) for periods t = 0, t = 1, t = 2, t = 3 and t = 4.
| Time | GDP | ln(GDP) |
|---|---|---|
| 0 | 120 | 4.787 |
| 1 | 125 | 4.828 |
| 2 | 130 | 4.868 |
| 3 | 128 | 4.852 |
| 4 | 134 | 4.898 |
(a) Calculate the rate of growth of GDP between periods 1 and 2.
(b) Calculate the slope of the line connecting points at t=0 and t=4.
(c) What is the geometric average rate of growth of GDP between time 0 and time 4?
주의: 기간 2와 3 사이에는 마이너스 성장이 있었습니다!
이는 평균 성장률의 근사치입니다.
기하평균 성장률(2.80%)과 로그 그래프의 기울기(2.775%)가 거의 같습니다!
로그 스케일에서:
- 직선 = 일정한 성장률
- 기울기 = 성장률 (작은 g에 대해)
- 위로 볼록 = 성장률 감소
- 아래로 볼록 = 성장률 증가
이것이 경제학자들이 장기 데이터를 볼 때 로그 스케일을 선호하는 이유입니다!
Problem 5: GDP Impact Analysis - What Counts? (Modified)
기초시나리오를 약간 변경하여 더 현실적이고 최신 상황을 반영했습니다.
Determine the effect of each of the following on U.S. nominal GDP:
GDP 계산의 핵심 체크리스트
국내에서 생산되었나?
해외 생산은 GDP에 포함 안 됨!
최종재인가?
중간재는 이중계산 방지를 위해 제외!
올해 생산되었나?
중고품은 생산 연도에 이미 계산됨!
시장 거래인가?
DIY, 가사노동은 제외 (단, 주택 서비스는 예외)!
| 시나리오 | GDP 영향 | 이유 |
|---|---|---|
| (a) 농부가 $30에 유기농 채소를 당신에게 판매 | +$30 | 국내 생산, 최종재 판매 |
| (b) 농부 → 식료품점 $30, 식료품점 → 당신 $50 | +$50 | 최종 판매가격만 계산 |
| (c) Tesla가 중국 공장에서 생산한 차를 미국에 수출 | 0 | 해외 생산 (중국 GDP에 포함) |
| (d) 중고 iPhone을 $500에 구매 | 0 | 중고품 거래 (생산 연도에 이미 계산) |
| (e) Uber 운전 → 자가용 운전으로 전환 | 감소 | 시장 거래 → 비시장 활동 |
| (f) Airbnb로 빈 방을 월 $1000에 임대 시작 | +$12,000/년 | 새로운 주택 서비스 시장 거래 |
| (g) 미국 회사가 멕시코 공장에서 부품 생산 | 0 | 해외 생산 (GNP vs GDP 차이) |
Uber → 자가용:
• Uber는 시장에서 거래되는 서비스 (GDP 포함)
• 자가용 운전은 비시장 활동 (GDP 제외)
• 결과: GDP 감소
빈 방 → Airbnb:
• 빈 방은 아무것도 생산하지 않음 (GDP = 0)
• Airbnb는 주택 임대 서비스 (GDP 포함)
• 결과: GDP 증가
핵심은 "시장을 통한 거래"가 있느냐 없느냐입니다!
• GDP (Gross Domestic Product): 국경 내 생산
• GNP (Gross National Product): 국민이 생산
• 미국 회사의 해외 공장 생산: GNP에는 포함, GDP에는 제외
• 한국 회사의 미국 공장 생산: 미국 GDP에 포함, 미국 GNP에는 제외
Problem 6: Value-Added Approach (Modified)
중급기존: 컴퓨터 제조 (wire $5, hard drive $3, processor $4)
변형: 스마트폰 제조 (battery $8, screen $12 from Korea, chip $15 from Taiwan)
더 복잡한 국제 공급망과 다른 가격 구조로 변경했습니다.
A US smartphone manufacturing company buys batteries from a company in US (cost is $8), a screen from a company in Korea (cost is $12) and a chip from a company in Taiwan (cost is $15) to produce a smartphone. Apple Store buys this smartphone from the US manufacturing company for $40 and sells it to you for $60. By how much will US GDP increase?
Value-added approach를 사용하여 각 단계에서 창출된 부가가치를 계산합니다:
| 단계 | 계산 | Value Added | 설명 |
|---|---|---|---|
| Battery company (US) | $8 - $0 | $8 | 미국 내 생산 |
| Screen company (Korea) | - | $0 | 한국에서 생산! |
| Chip company (Taiwan) | - | $0 | 대만에서 생산! |
| US manufacturing company | $40 - ($8 + $12 + $15) | $5 | 조립 부가가치 |
| Apple Store | $60 - $40 | $20 | 유통 부가가치 |
Total impact on GDP: $8 + $5 + $20 = $33
부가가치 접근법은 복잡한 글로벌 공급망을 분석하는 데 매우 유용합니다:
- 장점 1: 각 생산 단계의 기여도를 명확히 파악
- 장점 2: 국제 무역에서 각국의 실제 기여분 계산
- 장점 3: 이중계산 완벽 방지
- 실무 활용: VAT(부가가치세) 계산의 기초
실제 iPhone의 부가가치 구조 (추정치):
- 중국 조립: $10 (조립 노동)
- 한국 부품: $80 (디스플레이, 메모리)
- 일본 부품: $50 (카메라, 센서)
- 미국 디자인/소프트웨어: $200
- 유통/마케팅: $160
질문: iPhone이 중국에서 조립되어 미국에서 $500에 판매된다면, 미국 GDP에는 얼마가 기여할까요?
답: 미국 내 부가가치인 $200(디자인) + $160(유통) = $360만 기여합니다!
• 수입 중간재의 가치는 미국 GDP에서 제외
• 최종 판매가격 ≠ GDP 기여분
• 각 단계의 부가가치만 합산
• "어디서 생산?" 항상 확인!
Problem 7: Nominal GDP, Real GDP, GDP Deflator, and CPI (Modified)
고급기존: Computers, Oranges, Opera tickets
변형: Smartphones, Coffee, Movie tickets로 변경하고 가격/수량 조정
더 현실적인 상품들과 다른 가격 변동 패턴을 사용했습니다.
Consider an economy that produces only three types of goods: smartphones, coffee (pounds), and movie tickets. Below are the data on production and prices for 2022 (the base year) and 2023:
| Goods | 2022 (Base Year) | 2023 | ||
|---|---|---|---|---|
| Quantity | Price per unit | Quantity | Price per unit | |
| Smartphones | 5 | $600 | 6 | $500 |
| Coffee (pounds) | 1000 | $10 | 1200 | $12 |
| Movie tickets | 500 | $15 | 400 | $20 |
Nominal GDP = 당해년도 가격 × 당해년도 수량
2022: 5×600 + 1000×10 + 500×15 = 3,000 + 10,000 + 7,500 = $20,500
2023: 6×500 + 1200×12 + 400×20 = 3,000 + 14,400 + 8,000 = $25,400
명목 GDP 성장률 = (25,400 - 20,500)/20,500 = 23.9%
Real GDP = 기준년도(2022) 가격 × 당해년도 수량
2022: $20,500 (base year이므로 nominal과 동일)
2023: 6×600 + 1200×10 + 400×15 = 3,600 + 12,000 + 6,000 = $21,600
실질 GDP 성장률 = (21,600 - 20,500)/20,500 = 5.4%
2022: (20,500/20,500) × 100 = 100 (base year)
2023: (25,400/21,600) × 100 = 117.59
물가상승률 (GDP deflator 기준) = 17.59%
소비자 바스켓: 1 smartphone, 100 pounds coffee, 50 movie tickets
2022 바스켓 비용: 1×600 + 100×10 + 50×15 = 600 + 1,000 + 750 = $2,350
2023 바스켓 비용: 1×500 + 100×12 + 50×20 = 500 + 1,200 + 1,000 = $2,700
물가상승률 (CPI 기준) = 14.89%
이 문제에서 GDP Deflator(17.59%) > CPI(14.89%)인 이유:
- Smartphones: 가격 하락 (-16.7%) → CPI는 고정 수량(1개)의 혜택만 받지만, GDP deflator는 생산 증가(5→6)도 반영
- Movie tickets: 가격 상승 (+33.3%)이지만 생산 감소(500→400) → GDP deflator는 이 효과가 희석됨
- 가중치 차이: CPI는 고정 바스켓, GDP deflator는 당해년도 생산량이 가중치
1. 기술 발전: 스마트폰은 기술 혁신으로 더 싸게 생산 가능 (-16.7%)
2. 서비스 가격: 영화표는 인건비 상승 등으로 크게 증가 (+33.3%)
3. 전체 효과: 가중평균하면 여전히 물가 상승
실제로도 전자제품은 꾸준히 가격이 하락하지만, 교육, 의료, 주거비 등의 상승으로 전체 물가는 상승합니다. 이것이 바로 "Baumol's cost disease"라고 불리는 현상입니다!
• Nominal GDP: 당해년도 P × 당해년도 Q
• Real GDP: 기준년도 P × 당해년도 Q
• GDP Deflator: Paasche index (당해년도 수량 가중)
• CPI: Laspeyres index (기준년도 수량 가중)
• 기준년도에는 모든 지수 = 100
Problem 8: Cobb-Douglas Production Function (Modified)
고급기존: $Y = K^{0.4}L^{0.6}$
변형: $Y = K^{0.3}L^{0.7}$로 변경하고, K=125, L=200, P=$5로 설정
노동 집약적 생산함수로 변경하여 다른 계산 연습을 제공합니다.
The production function for a country is: $Y = K^{0.3}L^{0.7}$
(a) What is the name of this production function?
(b) Does this function have constant returns to scale? Explain.
(c) If K = 125 and L = 200, calculate the output Y.
(d) Calculate the marginal product of labor (MPL) and marginal product of capital (MPK) at the given values.
(e) If the price of output is $5, what will the real wage and the real rental price of capital be in equilibrium?
(f) What are the firm's revenues, costs, and profits?
(g) What share of total income goes to labor vs capital?
The Cobb-Douglas production function (이름은 발견자인 경제학자 Charles Cobb와 수학자 Paul Douglas의 이름을 딴 것입니다).
CRS 확인: 모든 투입요소를 z배 증가시킬 때 산출도 z배 증가하는지 확인
지수의 합이 0.3 + 0.7 = 1이므로 constant returns to scale입니다!
Output 계산:
계산 팁: $125 = 5^3$이므로 $125^{0.3} = (5^3)^{0.3} = 5^{0.9} = 4.217$
$200^{0.7} = 200^{0.7} = 52.48$
따라서 $Y = 4.217 \times 52.48 = 221.31$
한계생산물 계산:
주목: MPL/L = α × Y/L 이고 MPK = (1-α) × Y/K 입니다!
(e) Real wages and rental prices:
균형에서 실질임금 = MPL = 0.775, 실질자본임대료 = MPK = 0.531
(f) Revenues, costs, and profits:
- Revenues: P × Y = $5 × 221.31 = $1,106.55
- Labor costs: P × MPL × L = $5 × 0.775 × 200 = $775
- Capital costs: P × MPK × K = $5 × 0.531 × 125 = $331.88
- Total costs: $775 + $331.88 = $1,106.88
- Profits: $1,106.55 - $1,106.88 ≈ $0 (반올림 오차)
(g) Income shares:
- Labor share: $775/$1,106.55 = 70%
- Capital share: $331.88/$1,106.55 = 30%
정확히 Cobb-Douglas 지수와 일치합니다! (α = 0.3, 1-α = 0.7)
Cobb-Douglas 생산함수 $Y = K^α L^{1-α}$의 특별한 성질:
- 소득 분배: α = 자본 소득 점유율, 1-α = 노동 소득 점유율
- 한계생산물: MPK = α(Y/K), MPL = (1-α)(Y/L)
- 대체탄력성: 항상 1 (unitary elasticity)
- 오일러 정리: Y = MPK×K + MPL×L (이윤 = 0)
- 성장회계: gY = gA + αgK + (1-α)gL
• α = 0.3: 자본이 총소득의 30%를 가져감 → 노동이 70%
• α = 0.4: 자본이 총소득의 40%를 가져감 → 노동이 60%
실제 경제에서의 예:
• 미국: α ≈ 0.33 (자본 집약적)
• 인도: α ≈ 0.25 (노동 집약적)
• 한국: 1970년대 α ≈ 0.25 → 2020년대 α ≈ 0.35 (산업화!)
α가 작을수록 노동의 한계생산성이 높고, 임금이 총소득에서 차지하는 비중이 큽니다!
• MPL = (1-α) × Y/L (미분 안 해도 됨!)
• MPK = α × Y/K
• 노동 소득 = (1-α) × Y
• 자본 소득 = α × Y
• 완전경쟁 균형에서 이윤 = 0 (항상!)
핵심 요약 및 시험 대비 포인트
Problem Set 1a 변형문제 핵심 체크리스트
Causality vs Correlation
• 교육-소득 관계에서도 같은 논리 적용
• Reverse causality: 부유층이 더 많은 교육
• Omitted variable: 능력이 둘 다 영향
Growth Rate 계산
• 4배, 5배 등 다른 배수도 같은 공식
• "2배 큰" vs "2배가 되는" 구분
• 초기 비율 정확히 파악
GDP 계산
• 국내 생산 여부가 핵심
• 최신 경제 현상 반영 (Uber, Airbnb)
• GNP vs GDP 구분
Value Added
• 복잡한 국제 공급망 분석
• 각국 부가가치 정확히 계산
• 수입 중간재는 제외
Price Indices
• Nominal: 당해 P × 당해 Q
• Real: 기준 P × 당해 Q
• Deflator vs CPI 차이 이해
Cobb-Douglas
• 지수가 바뀌어도 같은 원리
• α = 자본 소득 비중
• 빠른 계산법 활용
• 문제의 조건이 바뀌면 공식도 조정 필요
• 단위 변환 항상 확인 (%, 소수점)
• 계산 후 sanity check (말이 되는 답인가?)
• 경제적 직관과 수학적 계산 모두 중요!