Problem 1: GDP/capita and Life Satisfaction - Causality Analysis

기초
문제 1

In class, evidence on a positive correlation between GDP/capita and (survey-based measures of) life satisfaction was presented. This correlation, like all correlations, is not direct evidence of causality (though most economists would probably interpret it this way). Present two logical arguments why this correlation does NOT lead us to conclude that high GDP/capital causes high life satisfaction. One of the arguments should be based on reverse causality and the other on the presence of an omitted variable.

Solution

Argument based on reverse causality: People who are happier put more energy and enthusiasm into working and thus are more productive so output in their country is higher.

Argument based on omitted variable: People who are healthier are also happier and healthier people are able to work more, since they miss less days of work due to illness, so output in their country is higher.

1 Correlation vs Causation의 이해

경제학에서 가장 중요한 개념 중 하나는 상관관계(correlation)와 인과관계(causation)의 차이입니다.

  • 상관관계: 두 변수가 함께 움직이는 경향이 있음
  • 인과관계: 한 변수가 다른 변수를 직접적으로 야기함
Q: 왜 경제학자들은 상관관계를 인과관계로 해석하는 실수를 자주 할까요?
A: 이는 우리의 직관적 사고방식 때문입니다. GDP가 높은 나라의 사람들이 더 행복하다는 것을 관찰하면, 자연스럽게 "돈이 많으면 행복하다"라고 생각하게 됩니다. 하지만 실제로는:

1. 역인과관계(Reverse Causality): 마치 "닭이 먼저냐, 달걀이 먼저냐"와 같은 문제입니다. 행복한 사람들이 더 생산적이어서 GDP가 높을 수도 있습니다.

2. 생략된 변수(Omitted Variable): 제3의 요인이 두 변수 모두에 영향을 미칠 수 있습니다. 예를 들어, 좋은 기후나 교육 시스템이 사람들을 건강하고 행복하게 만들면서 동시에 생산성도 높일 수 있습니다.
시험 주의사항:
• Reverse causality와 Omitted variable bias는 다른 개념입니다
• 각각의 예시를 명확히 구분하여 제시해야 합니다
• 실제 시험에서는 구체적인 메커니즘을 설명해야 합니다
문제 변형 예시

변형 문제: If we observe a positive correlation between education level and income, provide two arguments why this doesn't prove education causes higher income.

답변 가이드:

  • Reverse causality: 부유한 가정의 자녀가 더 많은 교육을 받을 수 있음
  • Omitted variable: 능력(ability)이나 가족 배경이 교육과 소득 모두에 영향

Problem 2: Growth Rates - US vs China

중급
문제 2

Growth Rates:

(a) Suppose that the U.S. growth rate of real GDP/capita is 3% per year. How long will it take U.S. GDP/capita to double?

(b) Suppose that the China growth rate of real GDP/capita is 5% per year. How long will it take China GDP/capita to triple?

(c) Given the growth-rate projections above and that China's GDP today is 28.1% of US GDP, how long it will take China to surpass the US?

Solution (a)

We want to find t such that $Y_t = 2Y_0$. Let's apply the expression:

$$Y_t = Y_0 \cdot (1 + g)^t$$ $$2Y_0 = Y_0 \cdot (1 + 3\%)^t \Rightarrow$$ $$\ln 2 = t \ln(1 + 3\%) \Rightarrow$$ $$t \approx \frac{\ln 2}{3\%} = 23.10 \text{ years}$$
Solution (b)

We want to find t such that $Y_t = 3Y_0$. Using the same formula:

$$t \approx \frac{\ln 3}{5\%} = 21.97 \text{ years}$$
Solution (c)

We want to find t such that $Y_t^C \geq Y_t^U$

$$Y_0^C(1 + g^C)^t \geq Y_0^U(1 + g^U)^t$$ $$\frac{(1 + g^C)^t}{(1 + g^U)^t} \geq \frac{Y_0^U}{Y_0^C}$$ $$t \geq \frac{1}{g^C - g^U} \ln\left(\frac{Y_0^U}{Y_0^C}\right)$$ $$t \geq \frac{1}{5\% - 3\%} \ln\left(\frac{1}{28.1\%}\right) = 63.47 \text{ years}$$
2 Rule of 70과 복리의 마법

Rule of 70은 성장률 계산을 쉽게 해주는 경험법칙입니다:

$$\text{배가 시간} \approx \frac{70}{\text{성장률(\%)}}$$

예: 3% 성장률이면 약 70/3 = 23.3년에 두 배가 됩니다.

US vs China GDP Growth Projection
Q: 왜 로그(logarithm)를 사용해서 성장률 문제를 푸는 것이 편리할까요?
A: 로그는 곱셈을 덧셈으로, 지수를 곱셈으로 변환해주는 마법 같은 도구입니다:

1. 지수 함수의 변환: $(1+g)^t$의 양변에 로그를 취하면 $t \cdot \ln(1+g)$가 됩니다.

2. 근사의 편리함: $g$가 작을 때 $\ln(1+g) \approx g$입니다. 이것이 바로 continuous compounding의 개념입니다.

3. 직선 관계: 로그 스케일에서 일정한 성장률은 직선으로 나타납니다. 이는 성장을 시각화하기 편리합니다.
자주 하는 실수:
• 성장률을 소수로 변환하지 않고 계산 (3% → 0.03)
• ln과 log를 혼동 (자연로그 ln 사용)
• 초기값의 비율을 거꾸로 계산 (중국/미국이 아닌 미국/중국)

Problem 3 & 4: GDP Scale and Growth Rate Analysis

중급
문제 3

As represented by the figure below, GDP in country X grows at a constant rate. Calculate the constant rate of growth of GDP for country X. What scale is being used in the vertical axis?

[그래프: t=0에서 GDP=100, t=60에서 GDP=300, t=120에서 GDP=900으로 증가하는 직선]

Solution

Using the growth formula for periods t and t+60:

$$Y_{t+60} = Y_t \cdot (1 + g)^{60}$$ $$300 = 100 \cdot (1 + g)^{60}$$ $$3 = (1 + g)^{60}$$ $$g = 3^{1/60} - 1 = 1.85\%$$

The scale used in the vertical axis is ln(GDP).

3 로그 스케일의 비밀

로그 스케일에서 일정한 성장률은 직선으로 나타납니다. 이는 다음과 같은 이유 때문입니다:

$$\ln(Y_t) = \ln(Y_0) + t \cdot \ln(1 + g) \approx \ln(Y_0) + t \cdot g$$

즉, ln(GDP)를 시간에 대해 그리면 기울기가 g인 직선이 됩니다!

문제 4

The figure below graphs ln(GDP) for periods t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 and t = 5.

(a) Calculate the rate of growth of GDP between periods 2 and 3.

(b) Calculate the slope of the green line in the figure.

(c) What is the geometric average rate of growth of GDP between time 1 and time 5?

Solution (a)
$$g_2 = \frac{GDP_3}{GDP_2} - 1 = \frac{105}{110} - 1 = -4.54\%$$
Solution (b)
$$\text{Slope} = \frac{\text{Rise}}{\text{Run}} = \frac{\ln 110 - \ln 100}{5 - 1} = 2.38\%$$
Solution (c)
$$\bar{g} = \left(\frac{GDP_5}{GDP_1}\right)^{1/4} - 1 = \left(\frac{110}{100}\right)^{1/4} - 1 = 2.40\%$$

기하평균 성장률과 로그 스케일의 기울기가 거의 같습니다!

Problem 5: GDP Impact Analysis - What Counts?

기초
문제 5

Determine the effect of each of the following on U.S. nominal GDP:

GDP 계산의 핵심 원칙

1

생산 위치 원칙

GDP는 국내에서 생산된 것만 포함합니다. 해외 생산은 제외!

2

최종재 원칙

최종 소비자에게 판매된 가격으로 계산합니다. 중간재는 이중계산 방지를 위해 제외!

3

신규 생산 원칙

중고품 거래는 GDP에 포함되지 않습니다. 오직 새로 생산된 재화와 서비스만!

4

시장 거래 원칙

가사 노동 등 시장을 통하지 않은 생산은 제외됩니다 (단, 주택 서비스는 예외).

시나리오 GDP 영향 이유
(a) 어부가 $20에 생선을 당신에게 판매 +$20 최종재 판매
(b) 어부 → 식당 $20, 식당 → 당신 $60 +$60 최종 판매가격만 계산
(c) 홍콩 Apple 공장 → 미국 정부 0 해외 생산
(d) 미군 중고 제트기 → Delta Airlines 0 중고품 거래
(e) 외식 → 집밥으로 전환 감소 시장 거래 → 비시장 활동
(f) 주택 임대료 10% 상승 증가 주택 서비스는 GDP 포함
Q: 왜 GDP는 집에서 요리하는 것은 포함하지 않으면서 주택 서비스는 포함할까요?
A: 이는 GDP의 한계와 실용적 고려사항을 보여줍니다:

1. 측정 가능성: 주택의 임대가치는 시장에서 관찰 가능하지만, 가사노동의 가치는 측정하기 어렵습니다.

2. 국제 비교: 자가 거주자에게도 "귀속 임대료(imputed rent)"를 계산하여 임대/자가 비율이 다른 국가 간 비교를 가능하게 합니다.

3. 역사적 관행: GDP는 1930년대 대공황 시기에 개발되었고, 당시 여성의 가사노동은 경제활동으로 간주되지 않았습니다.

Problem 6: Value-Added Approach

중급
문제 6

A US computer manufacturing company buys wires from a company in US (cost is 5), a hard drive from a company in Japan (cost is 3) and a processor from a company in China (cost is 4) to produce a laptop. Bestbuy buys this laptop from the US computer manufacturing company for 15 and sells it to you for $20 who happily uses the laptop. By how much US GDP will increase?

Solution

We will find the impact on GDP using the value-added procedure:

$$GDP = \sum \text{Value Added}$$
  • Value added wire company: 5 - 0 = 5
  • Value added hard drive company: 0 (일본에서 생산!)
  • Value added processor company: 0 (중국에서 생산!)
  • Value added computer manufacturing company: 15 - 5 - 3 - 4 = 3
  • Value added Bestbuy: 20 - 15 = 5

Impact on GDP: 5 + 3 + 5 = $13

$ Value-Added Method의 이해

부가가치(Value Added) = 산출물 가치 - 투입물 가치

이 방법의 장점:

  • 이중계산(double counting) 방지
  • 각 생산 단계의 기여도 파악 가능
  • 국제 무역이 포함된 복잡한 공급망 분석에 유용
변형 문제 예시

문제: A Korean car company imports 10,000 worth of steel from China, uses it to produce a car in its US factory, and sells it for 25,000. What's the impact on US GDP?

답: Value added = $25,000 - $10,000 = $15,000

핵심: 수입 중간재의 가치는 제외하고, 미국 내에서 창출된 부가가치만 계산!

Problem 7: Nominal GDP, Real GDP, GDP Deflator, and CPI

고급
문제 7

Consider an economy that produces only three types of goods: computers, oranges, and opera tickets. Below are the data on production and prices for 2021 (the base year) and 2022:

Goods 2021 2022
Quantity Price per unit Quantity Price per unit
Computer 3 500 4 400
Oranges 200 0.5 200 0.5
Opera tickets 1000 60 900 70
Solution (a) - Nominal GDP

Nominal GDP 2021: 3×500 + 200×0.5 + 1000×60 = 61,600

Nominal GDP 2022: 4×400 + 200×0.5 + 900×70 = 64,700

Solution (b) - Real GDP

Real GDP 2021: 61,600 (base year이므로 nominal과 동일)

Real GDP 2022: 4×500 + 200×0.5 + 900×60 = 56,100

2021년 가격을 사용하여 2022년 수량을 평가합니다!

Solution (c) - GDP Deflator
$$\text{GDP Deflator 2022} = \frac{\text{Nominal GDP 2022}}{\text{Real GDP 2022}} = \frac{64,700}{56,100} = 1.1533$$

Price level increased by 15.33% from base year to 2022.

Solution (d) - CPI

Consumption basket: 2 computers, 100 oranges, 800 opera tickets

Cost of basket in 2021: 2×500 + 100×0.5 + 800×60 = 49,050

Cost of basket in 2022: 2×400 + 100×0.5 + 800×70 = 56,850

$$CPI_{2022} = \frac{56,850}{49,050} = 1.1590$$ $$\text{Inflation}^{CPI} = 15.9\%$$

Nominal vs Real GDP, GDP Deflator vs CPI

1

Nominal vs Real GDP

• Nominal GDP: 당해년도 가격 × 당해년도 수량

• Real GDP: 기준년도 가격 × 당해년도 수량

• Real GDP는 순수한 생산량 변화만 반영!

2

GDP Deflator vs CPI

• GDP Deflator: 생산된 모든 재화의 가격 변화 (Paasche index)

• CPI: 고정된 소비 바스켓의 가격 변화 (Laspeyres index)

• 대체효과: CPI는 과대평가, GDP deflator는 과소평가 경향

시험 팁:
• Real GDP 계산 시 항상 기준년도 가격 사용
• CPI는 고정 바스켓, GDP deflator는 변동 바스켓
• 인플레이션율 = (새 지수/구 지수) - 1

Problem 8: Cobb-Douglas Production Function

고급
문제 8

The production function for a country is: $Y = K^{0.4}L^{0.6}$

(a) What is the name of this beautiful production function?

(b) Does this function have constant returns to scale? Explain.

(c) Assume now that K is constant, that is, K = K̄. Calculate the marginal product of labor (MPL) as a function of labor and argue, by inspecting the function you obtain, that it is decreasing in labor.

(d) If the total stock of capital is 100 units, the total amount of hours is also 100, and the price of output is $10, what are the firm's revenues?

(e) What will the real wage and the real rental price of capital be in equilibrium?

(f) What are the firm's costs in equilibrium? What are the firm's profits?

Solution (a)

The beautiful Cobb-Douglas production function.

Solution (b)

To check constant returns to scale, we need to show: $F(zK, zL) = zF(K,L)$ for any $z \geq 0$

$$F(zK, zL) = (zK)^{0.4}(zL)^{0.6} = z^{0.4}K^{0.4}z^{0.6}L^{0.6} = z^{1.0}K^{0.4}L^{0.6} = zF(K,L)$$

Yes, it has constant returns to scale because the exponents sum to 1.

Solution (c)
$$MPL = \frac{\partial F(\bar{K}, L)}{\partial L} = 0.6\bar{K}^{0.4} \cdot L^{-0.4}$$

Since the exponent on L is negative (-0.4), MPL decreases as L increases.

Solution (d-f)

(d) Revenues: $P \cdot Y = 10 \cdot 100^{0.4} \cdot 100^{0.6} = 1000$

(e) Real wages and rental prices:

$$MPL = 0.6 \cdot 100^{0.4} \cdot 100^{-0.4} = 0.6$$ $$MPK = 0.4 \cdot 100^{-0.6} \cdot 100^{0.6} = 0.4$$

Real wage = $0.6, Real rental price = $0.4

(f) Costs and Profits:

  • Labor costs: $10 × 0.6 × 100 = 600$
  • Capital costs: $10 × 0.4 × 100 = 400$
  • Total costs: $1000$
  • Profits: $1000 - 1000 = 0$ (완전경쟁시장의 특징!)
α Cobb-Douglas의 아름다운 성질들

$Y = K^α L^{1-α}$ 형태의 Cobb-Douglas 함수는:

  • α: 자본의 소득 점유율 (capital share)
  • 1-α: 노동의 소득 점유율 (labor share)
  • 규모수익불변: 지수의 합이 1
  • 한계생산체감: 각 요소의 한계생산은 감소
  • 오일러 정리: 완전경쟁에서 이윤 = 0
Q: 왜 완전경쟁시장에서 기업의 이윤이 0이 될까요?
A: 이는 경제학의 가장 우아한 결과 중 하나입니다:

1. 진입 자유: 이윤이 양수면 새로운 기업이 진입하여 가격을 낮춥니다.

2. 오일러 정리: 규모수익불변 하에서 각 요소에 한계생산물만큼 지불하면 생산물이 정확히 소진됩니다:
$Y = MPK \cdot K + MPL \cdot L$

3. 경제적 의미: 모든 부가가치가 생산요소에 분배되며, 기업가는 "정상이윤"만 얻습니다.
시험 주의사항:
• 지수의 합이 1인지 확인 (CRS 조건)
• MPL, MPK 계산 시 편미분 정확히
• Real vs Nominal 구분 (문제에서 P=10 주어짐)
• 균형에서 W/P = MPL, R/P = MPK

핵심 요약 및 시험 대비 포인트

Problem Set 1 핵심 체크리스트

✓

Causality vs Correlation

• Reverse causality와 Omitted variable bias 구분

• 구체적인 메커니즘 설명 필수

✓

Growth Rate 계산

• $(1+g)^t$ 공식과 로그 변환

• Rule of 70 활용

• 따라잡기 시간 계산

✓

GDP 계산 원칙

• 국내 생산, 최종재, 신규 생산, 시장 거래

• Value-added approach

✓

Real vs Nominal

• Real GDP = 기준년 가격 × 당해년 수량

• GDP Deflator vs CPI 차이

✓

Cobb-Douglas

• CRS 확인: 지수의 합 = 1

• 균형: 요소가격 = 한계생산물가치

• 완전경쟁: 이윤 = 0