Part 1: Introduction to Extended Solow Model

기초
1 기본 Solow 모델의 한계

기본 Solow 모델은 마치 한 번 물을 준 화분과 같습니다. 처음에는 빠르게 자라지만, 결국 성장이 멈추고 일정한 크기에 머물게 됩니다. 이유는 다음과 같습니다:

  • • Capital accumulation만으로는 sustained growth 불가능: 자본 축적만으로는 diminishing returns 때문에 결국 성장이 멈춥니다.
  • • Higher saving rate는 level effect만 발생: 저축률을 높이면 소득 수준은 올라가지만, 성장률은 일시적으로만 증가합니다.
  • • Steady state에서 per capita growth = 0: 장기균형에서는 1인당 소득이 더 이상 증가하지 않습니다.
Q: 왜 자본 축적만으로는 지속적인 성장이 불가능할까요?
A: 이를 이해하기 위해 농장을 예로 들어봅시다. 농부가 더 많은 트랙터를 구입한다고 생각해보세요. 첫 번째 트랙터는 생산성을 크게 높이지만, 두 번째, 세 번째 트랙터의 추가적인 효과는 점점 작아집니다. 결국 10번째 트랙터는 거의 쓸모가 없을 수 있습니다. 이것이 diminishing returns to capital입니다.

경제 전체도 마찬가지입니다. 자본이 늘어날수록 추가 자본의 생산성이 떨어지고, 결국 새로운 투자가 감가상각을 겨우 보충하는 수준에 이르게 됩니다. 이 지점이 steady state입니다.
핵심 통찰: 현실에서 우리가 관찰하는 지속적인 경제성장을 설명하려면, 모델에 population growth (n)과 technological progress (g)를 추가해야 합니다.

Part 2: Properties of Growth Rates

중급
2 Growth Rate의 수학적 성질

성장률을 다루는 것은 복리 이자를 계산하는 것과 같습니다. 작은 퍼센트 변화가 시간이 지나면서 큰 차이를 만들어냅니다.

Growth Rate Rules (성장률 계산 법칙)

1

Product Rule (곱셈 규칙)

$Z = X \cdot Y$일 때: $g_Z \approx g_X + g_Y$

예시: GDP = 노동자 수 × 노동자당 생산성이면, GDP 성장률 ≈ 인구 성장률 + 생산성 성장률

2

Ratio Rule (나눗셈 규칙)

$Z = X/Y$일 때: $g_Z \approx g_X - g_Y$

예시: 1인당 GDP = GDP/인구이면, 1인당 GDP 성장률 ≈ GDP 성장률 - 인구 성장률

3

Power Rule (거듭제곱 규칙)

$Z = X^\alpha$일 때: $g_Z \approx \alpha \cdot g_X$

예시: Cobb-Douglas에서 $Y = K^{0.3}L^{0.7}$이면, 자본이 10% 성장할 때 산출은 약 3% 성장

4

Constant Multiple Rule (상수배 규칙)

$Z = c \cdot X$ (c는 상수)일 때: $g_Z = g_X$

예시: 세금이 소득의 일정 비율이면, 세수 성장률 = 소득 성장률

$$\ln(1 + g) \approx g \text{ for small } g$$

이 근사식은 성장률이 작을 때 (예: 5% 이하) 매우 정확합니다.

Part 3: Population Growth in the Solow Model

중급
3 인구 성장의 영향

인구가 증가하면 기존의 자본을 더 많은 사람이 나눠 써야 합니다. 이는 마치 피자를 더 많은 사람과 나눠 먹는 것과 같습니다. 각자의 몫이 줄어들죠.

인구 성장 가정: $L_t = L_0(1+n)^t$
EXAMPLE: 인구 성장이 자본 축적에 미치는 영향

한 공장에 기계가 100대 있고 노동자가 100명이라면, 노동자 1인당 기계는 1대입니다. 만약 인구가 10% 증가하여 노동자가 110명이 되면:

  • • 새로운 투자 없이는 1인당 기계가 100/110 = 0.91대로 감소
  • • 1인당 자본을 유지하려면 10대의 기계를 추가로 투자해야 함
  • • 이것이 capital dilution effect입니다
$$\Delta k = sf(k) - (n + \delta)k$$

• $sf(k)$: Investment per worker (투자)
• $\delta k$: Depreciation per worker (감가상각)
• $nk$: Capital dilution from population growth (인구 증가로 인한 희석)

Solow Diagram with Population Growth
Q: 인구 성장률이 높은 국가가 왜 대체로 빈곤할까요?
A: Solow 모델은 이를 명쾌하게 설명합니다:

1. Capital dilution: 높은 인구 성장률은 1인당 자본을 유지하기 위해 더 많은 투자가 필요합니다. 예를 들어, 인구가 연 3% 성장하는 국가는 단순히 1인당 자본을 유지하기 위해서만 GDP의 상당 부분을 투자해야 합니다.

2. Break-even investment 증가: $(n+\delta)k$가 커지므로, 같은 저축률에서도 steady state의 $k^*$가 낮아집니다.

3. 실증적 증거: 아프리카의 많은 국가들이 높은 인구 성장률(2-3%)과 낮은 1인당 소득을 보이는 반면, 선진국들은 낮은 인구 성장률(0-1%)과 높은 1인당 소득을 보입니다.

Part 4: Steady State with Population Growth

고급
4 Steady State 조건

Steady state는 경제가 균형을 이룬 상태로, 1인당 변수들이 일정하게 유지되는 지점입니다.

$$sf(k^*) = (n + \delta)k^*$$
Cobb-Douglas Production Function 분석

생산함수가 $y = k^\alpha$ (단, $0 < \alpha < 1$)일 때:

$$k^* = \left(\frac{s}{n + \delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$ $$y^* = \left(\frac{s}{n + \delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$$

수치 예시: $\alpha = 1/3$, $s = 0.2$, $n = 0.02$, $\delta = 0.08$일 때:

  • • $k^* = (0.2/0.1)^{3/2} = 2^{1.5} \approx 2.83$
  • • $y^* = (2.83)^{1/3} \approx 1.41$
Effective Investment Rate

Effective investment rate = $\frac{s}{n + \delta}$

이 비율이 높을수록 steady state의 1인당 소득이 높습니다. 이는 투자(분자)를 늘리거나 인구성장률과 감가상각률(분모)을 줄여서 달성할 수 있습니다.

Impact of Population Growth Rate on Steady State
변수 Steady State에서의 성장률 설명
$k$ (capital per worker) 0 1인당 자본은 일정
$y$ (output per worker) 0 1인당 산출도 일정
$K$ (total capital) n 총자본은 인구와 같은 속도로 성장
$Y$ (total output) n 총산출도 인구와 같은 속도로 성장

Part 5: Technological Progress

고급
5 Labor-Augmenting Technological Progress

기술 진보는 마치 노동자들에게 슈퍼파워를 주는 것과 같습니다. 같은 수의 노동자가 더 많은 일을 할 수 있게 됩니다.

생산함수: $Y = F(K, L \cdot E)$
기술 성장: $E_t = E_0(1+g)^t$
Q: 왜 기술 진보를 "labor-augmenting"이라고 부를까요?
A: 이를 이해하기 위해 농업의 역사를 생각해봅시다:

1. 1900년: 한 농부가 하루에 1에이커를 경작
2. 2000년: 트랙터와 현대 기술로 한 농부가 하루에 100에이커를 경작

기술이 농부의 생산성을 100배 높였습니다. 이는 마치 농부 1명이 100명의 효과를 내는 것과 같습니다. 이것이 "labor-augmenting"의 의미입니다.

수학적으로는 $L \cdot E$로 표현되며, $E$가 증가하면 effective labor가 증가합니다.

Effective Worker 개념

1

정의

• $\tilde{k} = \frac{K}{LE}$: Capital per effective worker

• $\tilde{y} = \frac{Y}{LE}$: Output per effective worker

• $\tilde{c} = \frac{C}{LE}$: Consumption per effective worker

2

자본 축적 방정식

$$\Delta \tilde{k} = sf(\tilde{k}) - (n + g + \delta)\tilde{k}$$

여기서 $(n + g + \delta)$는 effective depreciation rate입니다.

3

Steady State에서의 성장률

• $\tilde{k}, \tilde{y}, \tilde{c}$: 0 (effective worker당 변수는 일정)

• $k, y, c$ (per worker): g (기술 성장률만큼 증가)

• $K, Y, C$ (aggregate): n + g

Solow Model with Technological Progress
핵심 결론: Solow 모델에서 장기적인 1인당 소득 성장은 오직 기술 진보(g)에 의해서만 가능합니다. 저축률(s)을 높이는 것은 소득 수준은 높일 수 있지만, 성장률은 변화시키지 못합니다.

Part 6: Historical Perspectives - Malthus vs Kremer

중급
Malthusian View (맬서스의 관점)

Thomas Malthus (1798)는 인구가 기하급수적으로 증가하지만 식량 생산은 산술급수적으로만 증가한다고 주장했습니다.

  • • 주요 예측: 인구 증가 → 자원 부족 → 기근과 전쟁 → 인구 감소
  • • 함정: "Malthusian Trap" - 인류는 영원히 생존 수준에 머물 것
  • • 결과: 경제학을 "dismal science"라고 부르게 된 계기
왜 Malthus가 틀렸는가?
  1. 기술 혁명: 화학 비료, 기계화, GMO 등으로 농업 생산성이 폭발적으로 증가
  2. 구조적 변화: 미국에서 농업 종사자는 전체 인구의 1% 미만이지만 전 국민을 먹여 살림
  3. 인구 변천: 선진국들은 출산율이 대체율(2.1) 이하로 하락
  4. Green Revolution: 1960-1970년대 농업 혁명으로 개도국 식량 생산 급증
Kremerian View (크레머의 관점)

Michael Kremer (1993)는 인구가 많을수록 혁신이 많이 일어난다고 주장했습니다.

  • • 핵심 논리: 더 많은 사람 = 더 많은 아이디어 = 더 빠른 기술 진보
  • • 역사적 증거: 인구가 많은 지역(유럽, 아시아)이 더 빠르게 발전
  • • 현대적 함의: 도시화와 집적 효과(agglomeration effects)
Population and Economic Growth: Historical Evidence
Q: Malthus와 Kremer 중 누가 맞을까요?
A: 흥미롭게도, 둘 다 부분적으로 맞습니다:

Malthus가 맞았던 시대 (pre-1800):
• 농업 사회에서는 실제로 인구 증가가 생활 수준을 낮췄습니다
• 기술 진보가 매우 느렸고, 토지가 주요 생산 요소였습니다

Kremer가 맞는 현대 (post-1800):
• 산업혁명 이후 인구와 생활 수준이 동시에 증가
• 아이디어와 지식이 주요 생산 요소가 됨
• 인구 밀도가 높은 도시가 혁신의 중심지

핵심 차이: 경제가 자원 기반(resource-based)에서 지식 기반(knowledge-based)으로 전환되면서 인구의 역할이 부담에서 자산으로 변화했습니다.

Practice Problems & Applications

실전
Problem 1

An economy has the production function $Y = K^{0.3}(LE)^{0.7}$. The saving rate is 20%, depreciation rate is 5%, population growth is 2%, and technological progress is 3%. What is the steady-state growth rate of output per worker?

  • A. 0%
  • B. 2%
  • C. 3%
  • D. 5%
정답: C

해설: Steady state에서 output per worker ($y = Y/L$)의 성장률은 기술 진보율 $g$와 같습니다.

계산:
• $\tilde{y} = Y/(LE)$는 steady state에서 일정
• $y = Y/L = \tilde{y} \cdot E$
• 따라서 $g_y = g_E = g = 3\%$

Problem 2

If the effective investment rate $s/(n+\delta)$ doubles, what happens to the steady-state level of output per worker in the Cobb-Douglas case with $\alpha = 1/3$?

  • A. Increases by 26%
  • B. Increases by 41%
  • C. Increases by 100%
  • D. Increases by 200%
정답: A

해설: $y^* = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$에서 $\alpha = 1/3$이면 지수는 $\frac{1/3}{2/3} = 1/2$

계산:
• Effective investment rate가 2배가 되면
• $y^*_{new}/y^*_{old} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$
• 즉, 약 41.4% 증가... 아, 정답은 B여야 합니다!

정정: 정답은 B. 41% 증가입니다.

Problem 3

Country A has population growth of 1% and Country B has 3%. Both have the same saving rate and depreciation rate. According to the Solow model, which statement is correct?

  • A. Country A will have higher steady-state income per capita
  • B. Country B will have higher steady-state income per capita
  • C. Both will have the same steady-state income per capita
  • D. Cannot determine without knowing the saving rate
정답: A

해설: 낮은 인구 성장률은 높은 effective investment rate를 의미하므로, Country A가 더 높은 steady-state 1인당 소득을 갖습니다.

직관: 인구가 천천히 증가하면, 새로운 노동자에게 자본을 제공하는 부담이 적어 1인당 자본 축적이 더 많이 일어납니다.

핵심 공식 정리

1. Growth Rate Rules:
• Product: $g_{XY} \approx g_X + g_Y$
• Ratio: $g_{X/Y} \approx g_X - g_Y$
• Power: $g_{X^\alpha} \approx \alpha g_X$

2. With Population Growth:
• Capital accumulation: $\Delta k = sf(k) - (n+\delta)k$
• Steady state: $sf(k^*) = (n+\delta)k^*$

3. With Technology:
• Effective units: $\Delta \tilde{k} = sf(\tilde{k}) - (n+g+\delta)\tilde{k}$
• Per-worker growth in SS: $g_k = g_y = g_c = g$

4. Cobb-Douglas:
• $k^* = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$
• $y^* = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$
시험 팁:
• Growth rate 계산 문제는 반드시 출제됩니다. 특히 product rule과 ratio rule을 확실히 익히세요.
• Steady state에서 per capita vs aggregate 성장률 구분이 중요합니다.
• Effective investment rate $s/(n+\delta)$가 핵심 개념입니다.

핵심 요약 및 시사점

이 강의의 핵심 메시지

1

장기 성장의 원천

• 자본 축적만으로는 지속적 성장 불가능 (diminishing returns)

• 오직 기술 진보만이 장기적 1인당 소득 성장을 가능하게 함

• 이것이 R&D와 교육 투자가 중요한 이유

2

인구 성장의 양면성

• 단기적: Capital dilution으로 1인당 소득 감소

• 장기적: 더 많은 혁신가와 아이디어 (Kremer)

• 경제 발전 단계에 따라 영향이 다름

3

정책적 시사점

• 저축률 증가: Level effect만 있음 (일시적)

• 교육/R&D 투자: Growth effect 가능 (지속적)

• 인구 정책: 발전 단계를 고려해야 함

4

현실 적용

• 한국의 고속 성장: 높은 저축률 + 빠른 기술 catch-up

• 아프리카의 빈곤 함정: 높은 인구 성장 + 낮은 저축

• 선진국의 저성장: 기술 진보 둔화 + 인구 고령화

시험 출제 포인트:
• Growth rate calculations (특히 product, ratio rules)
• Steady state에서 각 변수의 성장률
• Population growth가 steady state에 미치는 영향
• Technology가 유일한 장기 성장 원천임을 이해
• Effective investment rate의 중요성